Modelos de análise de lajes de concreto armado

O cálculo de
pavimentos de edifícios, compostos por lajes e vigas, foi feito durante muito
anos de maneira simplificada, considerando-se as lajes isoladas apoiadas em
vigas rígidas. Isso se devia, principalmente, à falta de recursos
computacionais capazes de resolver o grande volume de equações simultâneas
necessárias para analisar um pavimento como um todo. Hoje, apesar de existirem
diversos programas capazes de realizar análises com alto grau de refinamento,
ainda há uma cultura acerca de resultados esperados para lajes que se baseia
nas teorias simplificadas.

No caso de um
pavimento composto por lajes quadradas ou retangulares, com dimensões não muito
diferentes entre si, e com vigas de apoio suficientemente rígidas, para que se
possa considerar os apoios das lajes indeformáveis, o procedimento antigo, ou
simplificado, de se considerar as lajes como isoladas não leva a resultados
muito diferentes daqueles obtidos com uma análise do pavimento inteiro por
Analogia de Grelha ou pelo Método dos Elementos Finitos. Essas comparações são
válidas enquanto todos os processos envolvidos limitam-se à mesma premissa de
comportamento elástico-linear dos materiais. Uma análise mais completa, que
incluiria a não linearidade física do concreto armado, exibiria outras
diferenças nos resultados que não serão abordadas neste artigo.

Existem
diversos procedimentos para a análise e dimensionamento de lajes com
comportamento linear ou não-linear. Esses processos podem ser usados para
analisar os deslocamentos, os esforços internos, os elementos de apoio e a
capacidade de carga das lajes. Com a distribuição de esforços, tais como
momentos fletores, momentos de torção e esforços cortantes, é possível
dimensionar as armaduras e fazer a verificação das tensões nas lajes de
concreto armado. Apesar de apresentarem resultados diferentes, muitas das
variações são cobertas pelos teoremas da
análise limite, que indicam
que, para fins de dimensionamento no Estado Limite Último, várias configurações
de esforços são possíveis para uma mesma laje e todas encontram-se a favor da
segurança. Outras questões, como a da flexibilidade dos apoios, envolvem
premissas de modelo às vezes ignoradas com a possibilidade de levar a erros
consideráveis, que podem vir a superar a capacidade de redistribuição de
esforços da estrutura.

Métodos
elásticos

Os
métodos tradicionais para a determinação da distribuição de momentos em uma
laje têm sido através de modelos
elásticos. Tais métodos baseiam-se na
solução da equação diferencial que rege o comportamento de uma placa. Essas
soluções limitam-se, contudo, a casos nos quais se tenham condições de contorno
simples que levem a soluções exatas. Por exemplo, uma laje retangular sobre
apoios ideais submetida a um carregamento senoidal. Para se obter a solução
para um carregamento uniformemente distribuído, já é necessário fazer uso de
uma série numérica. Diversos autores de concreto armado incluíram, em seus
livros, tabelas para o cálculo de lajes isoladas com várias condições de apoio
e carregamento.

Lajes mais
complexas não possuem uma solução fechada pela Teoria da Elasticidade. Para
resolvê-las, deve-se fazer uso de procedimentos numéricos que são viáveis
apenas em computadores. Destes, o mais conhecido é o Método dos Elementos
Finitos.

No Método dos
Elementos Finitos, a placa é dividida em um número determinado de elementos.
Cada elemento de placa possui propriedades de deformação à flexão que são
conhecidas com  boa aproximação. O método geral de análise concentra as
cargas nos nós dos elementos e estabelece a continuidade das rotações e deslocamentos
em cada ponto nodal, de modo a satisfazer as equações de equilíbrio e as
condições de contorno requeridas. Utilizando-se um número razoável de
elementos, é possível obter soluções para praticamente qualquer geometria
definida. O modelo pode conter todas as lajes de um pavimento e todas as vigas,
analisando o comportamento do painel como um todo.

O mesmo
procedimento pode ser estendido para incluir outros comportamentos no elemento de
placa além do elástico, como, por exemplo, esforços axiais (elementos de
casca), deformações por cisalhamento, não linearidade física, múltiplas
camadas, entre outros, formando as bibliotecas de elementos contidas nos
programas comerciais que se baseiam nesse método. Evidentemente, quanto maior
for o nível de sofisticação do modelo, maior será o custo computacional
necessário para se obter uma solução.

Analogia
de grelha

Diversos
métodos aproximados de análise de lajes têm sido propostos, desenvolvidos e
usados ao longo dos anos. Muitos desses métodos foram desenvolvidos antes da
era dos computadores.

A
substituição de uma laje por uma série ortogonal de vigas que se cruzam é,
provavelmente, uma das mais antigas propostas de solução. Este procedimento não
é estritamente uma aproximação numérica da solução elástica,  como é o
caso do Método dos Elementos Finitos, e a distribuição de momentos calculada
desta forma necessitará de uma pequena redistribuição, devido ao comportamento
inelástico, para alcançar a carga última. Pode-se provar, pelo teorema do
limite inferior, que a solução obtida encontra-se a favor da segurança.

Da mesma
forma como no Método dos Elementos Finitos, ao se dividir a laje em um número
suficiente de faixas, é possível reproduzir o comportamento de estruturas com
praticamente qualquer geometria. Esta é a base do processo da Analogia de Grelha utilizado pelo AltoQi Eberick. O modelo também pode conter todas as
lajes de um pavimento e todas as vigas, analisando o comportamento do painel
como um todo. Os resultados finais obtidos com um e outro método são bastante
semelhantes.

Influência
da flexibilidade dos apoios

Uma
comparação entre os resultados fornecidos pela Analogia de Grelha e o processo
de Marcus para lajes retangulares (ou o uso de tabelas constantes em
bibliografia) já pode resultar em discrepâncias importantes. Em pavimentos de
edifícios reais, as lajes estão apoiadas sobre vigas que são flexíveis. Esta
condição de apoio altera o campo de deformações da laje e, como conseqüência,
os esforços internos e as reações de apoio. Nos processos para lajes isoladas,
supõe-se que os apoios sejam indeformáveis.

Na solução
por Analogia de Grelha, é possível considerar as vigas de apoio em conjunto com
o modelo de grelha das lajes e analisar todo o conjunto como uma grelha plana.
A laje e as vigas de apoio passam a ser, portanto, uma única estrutura. Em
painéis  de lajes contínuas, este modelo é  mais conveniente, obtendo-se
uma configuração de deformação e esforços mais próxima da situação real em
regime elástico.

A solução do
problema de lajes sobre apoios flexíveis pode ser obtida pela teoria da
elasticidade, sendo apresentada apenas para alguns casos particulares com lajes
isoladas. Por exemplo, na análise de uma laje quadrada de 4×4 m com 10 cm de
espessura, para diversas alturas de viga com largura fixa de 12 cm e altura
variando de 50 cm até 26 cm, os resultados da flecha máxima no meio do vão
variam de 0,56 cm até 1,61 cm e 3,52 cm para o caso de bordo livre. O mesmo
exemplo calculado por Analogia de Grelha apresenta resultados praticamente
idênticos. Quando se consideram duas lajes justapostas, com uma viga central,
ao reduzir a rigidez desta viga pode-se chegar a resultados nos quais  o
momento fletor sobre a viga é positivo e não negativo.

Influência
da rigidez à torção

Outro item
importante é a influência da rigidez à torção (relativa ao momento de torção ou
também chamado momento volvente das placas.) no comportamento de uma laje ou de
um painel de lajes, ou mesmo no comportamento de todo o pavimento. Na
formulação da Analogia de Grelha, pode-se estabelecer uma relação qualquer
entre a rigidez à torção e à flexão das barras (respeitada a capacidade de
redistribuição de esforços da laje), obtendo diferentes resultados. Usualmente,
como no caso do AltoQi Eberick, procura-se calibrar essa relação para que os
resultados aproximem-se o máximo possível da solução elástica.

Por outro
lado, no caso de lajes nervuradas (aquelas cuja zona de tração é constituída
por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte, de modo a tornar
plana a superfície externa), a rigidez à torção da laje é menor do que a de uma
laje maciça. Esse tipo de laje comporta-se claramente como uma grelha ortogonal
de vigas T. Analisando-se a rigidez à torção da seção equivalente T,
observam-se valores bastante pequenos. Por esse motivo, a análise de uma laje
maciça e outra nervurada, com as mesmas dimensões e carregamentos, resultam em
momentos fletores completamente diferentes.

A maior parte
das tabelas disponíveis e o processo de Marcus supõem uma rigidez à torção
correspondente à de uma laje maciça. Se aplicadas diretamente a uma laje
nervurada, resultarão em flechas e momentos fletores menores do que os reais. O
texto conclusivo do Projeto de Revisão da NBR 6118 (2003), diferente do que faz
a NBR 6118/78, em seu item 14.7.7 (“Lajes nervuradas”), determina que
“Na falta de resultados mais precisos, a rigidez à torção deve ser
considerada nula na determinação dos seus esforços solicitantes e
deslocamentos.”

Em suma,
pode-se dizer que os processos simplificados para análise de lajes isoladas
fornecem resultados próximos aos da Analogia de Grelha (mais próximos também do
real) enquanto se tem lajes retangulares maciças com apoios muito rígidos.
Lajes nervuradas ou apoiadas em vigas de seção usual podem fornecem resultados
bastante diferentes.